33 Объединением множеств А и В является нечеткое множество гда ЛАив(5) =л А(5) ^ Я в(5>(2.9) Пересечением множеств А и В является нечеткое множество* (*)/*)}, * е£ , (2.10) г д а Дополнением множества А является нечеткое множество Л ={<^(5)/5>}, 5 е5 , (2.11) где Л ^ =1~ЛА^ Разностью множеств А и В является нечеткое множество А\В={ {ХАХВ(*)/*) }, *е «У, я /^ (2.12) Отметим, что основные свойства операций над нечеткими множествами в основном соответствуют свойствам операций над обычными четкими множествами: свойства инволюции, идемпотентности, коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности, закон де Моргана. Для нечетких множеств, так же как и для обычных четких множеств, применимы квантор нечеткого существования 3 («существует такой или имеется такой») и квантор нечеткой общности V («для всех или для любого»). Нечетким покрытием множества Б является семейство 5Я нечетких множеств, для которых выполняются следующие условия (9 Л е9 1 )(Л * 0 );(Л с5 ); М (2.13) то есть нечеткое покрытие 5Я представляет собой совокупность нечетких подмножеств множества £ , объединение которых нечетко равно множеству Б . Класс нечеткого покрытия является максимальным, если он нечетко включается ни в один другой класс данного покрытия. Если попарное пересечение всех различных нечетких классов покрытия нечетко близко пустому множеству, приходим к частному виду покрытия, являющимся нечетким разбиением множества семейству 3 нечетких множеств, для которых выполняются следующие условия ч |
следующие условия: ( v l e K ) ( А * Ф ) ; (1.49) ( У А е Л ) ( А С Х ) \ (1.50) и А ъ Х . (1.51) A E R Другими словами, нечеткое покрытие R представляет собой совокупность нечетких подмножеств множества X, объединение которых нечетко равно множеству X. Элементы семейства SK называются классами нечеткого покрытия. П р и м е р 1.8 . Пусть X = { 1, 2, . . . , 10 } . Тогда нечеткие множества А х = { <0,3/1 >, <0,7/6>, <0,9/7>, <0,2/10» , Л 2 = ( <0,5/1 >, <0,8/2>, <0,4/7>, <0,9/8), <0,6/10)}, А ъ = {<0,8/2), <0,9/3), <0,7/5), <0,3/8), <0,9/9), <1/10) ) , А 4 = {(0,7/3), <0,6/4), <0,8/5), <0,3/7), <0,6/8), <0,7/9)}, /ïs = ( <1/1), <0,7/6), <0,5/7), <0,6/8), (0,7/9)} являются классами покрытия R = { A i tA 2fA 3i A 4tA 5} . Класс нечеткого покрытия называется максимальным, если он нечетко не включается ни^в один другой класс данного покрытия. В^примере 1.8 классы А 2, А 3, А 4, А 5 являются максимальными, а класс А х не максимальный, поскольку A i С А $. Если попарное пересечение всех различных нечетких классов покрытия нечетко близко пустому множеству, приходим к частному виду покрытия, называемому нечетким разбиением множества. Нечетким разбиением множества X называется семейство Ф нечетких множеств, для которых выполняются следующие условия: (V/4E ® ) ( А ъ ф ) ; (1.52) (V y îe ® ) ( А С Х ) ; (1.53) ( v i e ТО ) ( V f ? e ТО ) ( ( А ф В ) ъ ( ( А П В ) ~ ф)))-, (1.54) А * Х . (1.55) А Е Я Элементы семейства ТО называются классами нечеткого разбиения множества X. П р и м е р 1.9. ПустьХ = { х 1, хг , х 3, хЛ, х$ } . Семейство ТО = { А 1, А 2, А 3} , где I , = { <0,3/дсэ>, <0,1/х2>, <0,8/х3>, <0,2/дс4>, < 1/х5>} , А г = {< 0,9/х,>, <0,3/хэ>, (0,3/х3> , <0,7/дс4> , <0,2/х5>) , 1 3 = { <0,8/х2>, <0 ,3/*5> } являются нечетким разбиением множества X так как для него выполняются Условия (1 .5 2 )-(1 .5 5 ). ^ 1.2.5. Прямое произведение нечетких множеств и его свойства. Пусть А ~ {<Дл (*)/ *> ) ( х € Х ) и В = { ( Р в (у )/ У ')) ( у € У ) ~ нечежие подмножества множеств Х и У соответственно. _ ^ Прямым произведением нечежих множеств А и В называется и через А X В обозначается нечежое подмножество X X У, которое определяется 25 |