|
40 нечеткому множеству Г (А) определяется как наибольшее из значений, получаемых с помощью выбора минимального между значениями функции принадлежности каждого 5 е А нечеткому множеству А и значением функции принадлежности пары (5,’$2) нечеткому графу F . Если находится образ Г {А ) четкого множества А при соответствии Г , то образ превращается в выражение г и } = { { 1 Г(Л1< з М г » ’ (2.20) ГДЄ Л гґА)Г( А ) Для образов нечетких подмножеств А и В множества 5 при нечетком соответствии Г =(Sl>S2,F ')справедливы следующие свойства. Если А с В , то ГГА) с Г(В), г (а ц в ) « г м ; и г м ;, ^ Л * / ^ Г Ч / П Ч / ^ / ч / /у л и л ; » г м ; и г (В). Если ^ =(& >*У2» ) и ^ =( *У2’)£з’^ ) “ нечеткие соответствия, а '¥=(£ ,£ ,())их.композиция, то для нечеткого множества А в V имеет место Т ( Л ) » ( Г ° П ) и ) * П ( Г ( Д ) ) . По аналогии с четкими соответствиями вводится понятие прообраза нечеткого множества при данном нечетком соответствии. Пусть Г = (^ ,£ ,Е ) нечеткое соответствие, а В нечеткое множество в £ с функцией принадлежности Д . Прообразом Г (В) множества В при соответствии Г является нечеткое множество Г-'(В) = {<Х <^)/(3і)}, (2.21) где V АДв,-®,))еВ Поскольку нечеткий граф Г 1 соответствия Г _1= (5 ,» 5 2 ’), являющегося инверсией соответствия Г , имеет такую же функцию принадлежности, что и граф Г соответствия Г , то прообраз множества В при соответствии Г совпадает с образом В при соответствии Г '. Отсюда получаем, что свойства, которыми обладает |
Пусть у произвольный элемент из У. Тогда и г (А и я ) ( у ) = [(1.60)] V ( р А и в (х)&Д/г<Х,у>) = X G A и В [(1.24)] V ((Я 4 (дс) V цв ( х ) ) & pF (x ,y > ) = х ел ив = [(1.6)] V d ß A ( x ) & p F Для этого покажем, что М(Го Д )(Л ) (Z ) = МД(Г(.4 » ( * ) > где г произвольный элемент из множества Z . Тогда М (Г о A )(^ )(z )= [(1.60)] V ( uA ( x ) & u F o p < x , z » = X G A = [(1.5 8)] V ( рА ( х ) & ( V (UF Or,>>>&U/>0'>z>))) = xGA y S Y = [(1.6)] V ( V ( uA ( x ) & p F Таким образом, выражение (1.64) доказано. По аналогии с четкими соответствиями вводится понятие прообраза нечеткого множества при данном нечетком соответствии. Пусть Г = (X, У, F ) — нечеткое соответствие, а В — нечеткое множество в У с функцией принадлежности цв . Прообразом Г~1( В ) множества В при соответствии Г называется нечеткое множество Г “ 1( В ) в X , определяемое следующим выражением: Г Ч Д Ж ^ г 1( В ) ( * ) / * » , X G X , где Р г ' ( В ) ( Х) = v ( ß B ( y ) & V F < x , y ) ) . (1.65) yGB Поскольку нечеткий график F ~ l соответствия Г " 1= ( X , У, F ' 1) , являющегося инверсией соответствия Г, имеет такую же функцию принадлежности, что и график F соответствия Г (т.е. цр-^ = р р ) , то из (1.65) следует, что прообраз множества В при соответствии Г совпадает с образом В при соответствии Г ' 1. Отсюда получаем, что свойства, которыми обладает прообраз нечеткого множества при соответствии Г, совпадают со свойствами образа этого множества при соответствии Г ” 1. 30 |