|
&ОССИЙС*А* л л *у^и«РСТВЕНН« 41 -SEÜMOTEKA прообраз нечеткого множества при соответствии Г , совпадают со свойствами образа этого множества при соответствии Г = ( £ г,$ 2,Г ). Основными свойствами нечетких соответствий являются нечеткая функциональность, нечеткая инъективность, нечеткая всюду определенность, нечеткая сюръективность и нечеткая биективность. Определим эти свойства, исходя * 4 Ч из понятий нечеткого образа и нечеткого прообраза при данном соответствии, с помощью которых введем понятия степеней функциональности, инъективности, всюду определнности и сюръекгивности. Пусть Г = ( с , с ,F) произвольное нечеткое соответствие. Запишем для каждого 5 е нечеткое множество ^ 1( s 2) = { a r^ / s lM Sl) h (2.22) где Л г -Us / S x ) Л / S ^ s j Получим семейство нечетких прообразов всех элементов множества входа соответствия Г . Обозначим а(Т)fon степень нефункциональности соответствия Г и определим эту величину с помощью выражения Su'Si Si^Si Отсюда следует, что величина a(T)fon совпадает с наибольшим значением функции принадлежности тех элементов Sie S i ’ К0Т0Рые являются одновременно нечеткими прообразами любых двух элементов §2i,g2 є g 2. Если a(T)fon >0,5, то соответствие Г нечетко нефункционально. Степень функциональности соответствия Г определяется как ß(T)fon = \a(T)fon. (2.24) Если ß(T)fon>0,5, то соответствие Г нечетко функционально. Если / V / Г * * ^ а(Т )fon=ß(T)fon=0,5, то соответствие Г функционально индифферентно. Обозначим а(Г)1п. степень неинъективности соответствия Г a |
1.3.3. Основные свойства нечетких соответствий. Основными свойствами нечетких соответствий являются нечеткая функциональность, нечеткая инъективность, нечеткая всюду определенность, нечеткая сюръективность, нечеткая биективность. Определим эти свойства, исходя из понятий нечеткого образа и нечеткого прообраза при данном соответствии, с помощью которых введем понятия степеней функциональности, инъективности, всюду определенности и сюръективности. Для четких соответствий Г = (.X, У , F ) свойство функциональности, определенное как отсутствие в графике F двух пар вида ( х , у х ) и < х , у 2>. У\ ^ У 2 > можно задать, используя понятие прообраза при данном соответствии. Действительно, соответствие Г = (ЛГ, Y , F ) нефункционально, если для каких-либо двух элементов у\, у 2 £ Y имеет место Г ” 1( у i ) П Отсюда в функциональном соответствии для любых y it y ¡ E Y справедливо Г~1( у {) П Г ~l (y ¡) = 0. Эти рассуждения и положим в основу нахождения степеней функциональности и нефункциональное™ нечеткого соответствия. Пусть Г = (X , У, F ) произвольное нечеткое соответствие. Запишем для каждого у El Y нечеткое множество Г -1 ( у ) , используя выражение (1.65), которое в данном случае приобретает вид Г _10 ) = { <дг -« (>l)(x ) /*>}, где р г ( у) ( х ) = ixF (x, у >, поскольку В { у ) , а цв ( у ) = 1. Получим семейство нечетких прообразов всех элементов области прибытия соответствия Г. Обозначим a ( r ) fon степень нефункциональное™ соответствия Г и определим эту величину с помощью выражения a ( r ) fo„ = V ( V Oir -i(y f) W * M r * ( w ) W ) ) О*66) У i» Y х В Х ' Из (1.66) следует, что величина a ( f ) fon совпадает с наибольшим значением функции принадлежности тех элементов х Е X, которые являются одновременно нечеткими прообразами любых двух элементов у { , у ^ Е Y. Если a ( r ) f ¿ n > 0 , 5 , то соответствие^ Г нечетко нефункционально. Степень функциональности соответствия Г, обозначаемая 0 ( Г ) Гоп, определяется как 0(r)fon = l* (O f o n . (1.67) Если 0 ( r ) f o n > O , 5 , то соответствие Г нечетко функционально. Если fon = 0 ( f ) fon= 0,5, то соответствие Г нечетко функционально и нечетко нефункционально, т.е. функционально индифферентно. Нетрудно видеть, что в случае* когда соответствие Г нечетко функционально, для любых y ¡, y¡ Е Y справедливо, что Г~1( У{ ) П Г ~l ( y j ) П р и м е р 1.15. Пусть задано нечеткое соответствие Г ^ , У, F ) , показанное на рис. 1.4. _ _ Для каждого у Е Y определим Г “ 1( у ). Получаем Г " 1( у , ) = {< 0,4/xj >, <0,2/х2) } , Г “ 1( у 2) = { <0,3/дс,>, <0,9/х3>, <0,8/дг4>} , Г 'Ч з 'э ) < <0,7/х2>, < 1/дс3> > . Используя (1-66), запишем в (Г ) fon = '((0 ,4 & 0,3) V (0,4 & 0) V V (0,2 & 0) V (0.2& 0,7) V (0 & 0,9) V (0 & 1) V (0 & 0,8) V (0 & 0) V V (0,3 & 0) V (0 & 0,7) V (0,9 & 1) V (0,8 & 0 )) = 0,3 V 0,2 V 0,9 = 0,9. Отсюда 0 ( Г ) fon = 0,1 . Соответствие Г нечетко нефункционально. 31 |