|
Отношение Ф является нечетко симметричным, если а(Ф)тт2:0,5. Отношение 5 2 Ф является нечетко несимметричным, если а(Ф)5ут<0,5. Отношение Ф является яечетко симметрично индифферентным, если а(Ф)1ут=0,5. Степенью антисимметричности Р(Ф)^тявляется величина 0(ф)„ = & с -44) Отношение Ф является нечетко антисимметричным, если Р(Ф) >.0,5 Отношение Ф является нечетко неантисимметричным, если Р(Ф)5ут<0,5. Отношение / Ч І Ф является нечетко антисимметрично индифферентным, если Р(Ф)5ут=0,5 Аналогичным образом вводятся свойства нечеткой транзитивности и связанности. Далее рассмотрим основные виды нечетких отношений, определяемые различными совокупностями свойств Отношение Ф=( ^ ) является отношением нечеткой эквивалентности, если оно нечетко рефлексивно, нечетко симметрично и нечетко транзитивно., то есть если степень эквивалентности п(ф)=а(Ф)ге, &а(Ф)^.т&а(Ф). (2.45) больше или равна 0,5. Нечеткое отношение Ф=( ) на множестве 5'2 и разбиение К множества Я нечетко сопряжены, если степень сопряженности ф <Т(ФМ)= & у ( Л А( ^ ) &'Л А(*})У) (2.46) 5^5 АеК больше или равна 0,5. То есть с каждым отношением нечеткой эквивалентности сопряжено бесконечно много нечетких разбиений, нечетко равных или индифферентных друг другу. Отношение Ф=(Б,Р) является отношением нечеткой толерантности, если оно нечетко рефлексивно и нечетко симметрично, то есть если степень толерантности у(Ф)=а(Ф)ге,&а(Ф)„т (2.47) больше или равна 0,5. |
1.4.4. Отношение нечеткой эквивалентное™ Отношение 5?= (X, Р) называется отношением нечеткой эквивалентности, если оно нечетко рефлексивно, нечетко симметрично и нечетко транзитивно. Иначе говоря, отношение <рявляется нечеткой эквивалентностью, если величина т?(£) = а(называемая степенью эквивалентности отношения больше или равна 0,5. Если т](ф) < 0,5, то $ не является нечеткой эквивалентностью. В случае, когда т?(^) = 0,5, отношение у будем называть индифферентным относительно эквивалентности. Пусть = {X, Р) нечеткая эквивалентность на множестве X. Элементы х, у Е X будем называть нечетко эквивалентными, если рр{х, у ) > 0,5. Примерами нечетких эквивалентностей являются нечеткие отношения ’’быть примерно одного цвета” на множестве предметов, ’’иметь примерно одинаковые интересы” на множестве людей. Пусть для отношения 5? = (Л", Р) получено четкое отношение = = (X, Р , ) . Справедливо следующее предложение. П р е д л о ж е н и е 1.3. Если отношение является отношением эквивалентности, то нечеткое отношение $ нечеткая эквивалентность или индифферентно относительно эквивалентности. Доказательства этого предложения следует из определения нечеткой рефлексивности, нечеткой симметричности, нечеткой транзитивности и способа построения отношения . Отношение = (.X, Р ) на множестве Х и разбиение ЗЯ множества X нечетко сопряжены, если степень сопряженности ЗЯ ) , определяемая по формуле 0 ( & « Ю ) = & (цР ( х , у ) + + V ( Ц л ( х ) & ц А ( у ) ) ) , (1.82) Х , у е х Х е ю больше или равна 0,5. Если о(<р, ЗЯ ) < 0,5, то отношение р и разбиение ЗЯ нечетко не сопряжены. Когда о(*р, ЗЯ ) = 0,5, отношение и разбиение ЗЯ индифферентны относительно сопряженности. Из (1.82) и определения нечеткой сопряженности следует, что с каждым отношением нечеткой эквивалентности сопряжено бесконечно много нечетких разбиений, нечетко равных или индифферентных друг другу. Разбиение ЗЯ , сопряженное с отношением эквивалентности, называется нечетким фактор-множеством множества X по отношению ¡р и обозначается Х/!р. Пусть <р* = (X, Е 0) и ЗЯ, четкое отношение эквивалентности и сопряженное с ним разбиение множества X. Справедлива следующая теорема. Т е о р е м а 1.1. Если и ЗЯ « ЗЯ„ то нечеткое отношение $ и нечеткое разбиение ЗЯ нечетко сопряжены. Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как \рт и ЗЯ, сопряжены, то истинно высказывание ( Ч х , у е Х ) ( х < р , у ~ ( З А . е З Я . ) ( ( х € Е Л , ) А ( у € Л , ) ) ) . Пусть для произвольных х, у Е X истинно х у ,у . Отсюда и по определению нечеткого равенства отношений рр (х, у >> 0,5 для отношения 41 |