|
59 например нечетких алгоритмов, нечетких иерархических систем, нечетких пространств состояний. Вместе с тем, существуют системы, отображающие симметрические нечеткие отношения. Подобные системы представляются нечеткими неориентированными графами. Гиперграфы являются адекватной моделью систем, в которых элементы связаны совокупностями различных многоарных отношений. Использование гиперграфов в качестве математической модели таких систем позволяет для многих комбинаторных и логических задач взаимно однозначно и компактно описывать их структуру, получать формальные оптимизационные алгоритмы, удобно программируемые и обладающие естественным параллелизмом. В реальных условиях часто инцидентность между объектами в системе нечеткая. Нечеткая инцидентность возникает либо из-за участия в модели людей, либо из-за невозможности учета какихлибо факторов ввиду большой размерности и сложности процессов. Нечеткий гиперграф #= (5,(7,Р ) задан, если заданы множество вершин 5={ }, *=/1,2,..м }, множество ребер и ={ ц.}, } ={1{2,..ап} и двуместный нечеткий предикат нечеткии инцидентор Р , который определяется для всех пар («,и) и принимает значения из интервала [0,1]. Нечеткий инцидентор Р порождает множество нечеткой истинности Р(Р)={ 1 (в,и)! (в,и)} в множестве Я х и , где 1 -функция принадлежности, определяющая для каждой пары (в,и) степень инцидентности /1Р(Р)(5>и) входящих в нее элементов гиперграфа. Эквивалентным способом задания нечеткого гиперграфа Н ={8,и,Р) является матрица нечеткой инцидентности К д = г д »где Гд=А Р(р>( Нечеткий гиперграф представляет собой совокупность нечетких ситуаций, описывающих объект управления при решении задач вида «класс ситуаций действие», если множество этих ситуаций обозначить 5={$ }, 1 ={1,2,..м}, множество значений лингвистических переменных, характеризующих базовое множество признаков, которыми ситуации обладают в той или иной степени, обозначить и ={ц }, у={1,2,..ап} и положить, что двуместный нечеткий инцидентор |
инциденций II) задается следующим образом: (х,. хл) (дс. х 5) ( » 1. х2) (х 2. Х5) (х,. х4) (х 3, х 5) (х 4. х 5) (х 4, хв) X, 1 0.9 0 0 0 0 0 0 х2 0 0 ол 0,5 0 0 0 0 Хэ 0 0 0 0 03 0.4 0 0 Х4 0 0 0 0 0 0.4 0.7 0 X* 0 0.9 0 0.5 03 0 0,7 0 X* 1 0 0 0 0 0 0 0.6 Иногда в ориентированном или неориентированном нечетком графе между какими-либо парами вершин содержится несколько одинаковых нечетких дуг или ребер. Такие графы называются нечеткими мулътиграфами, одинаковые дуги или ребра называются кратными. Кратные ребра могут иметь различные степени инцидентности с инцидентными им одинаковыми парами вершин. В матрице инциденций каждое ребро из множества кратных ребер представляется отдельным столбцом. 1.6. Нечеткие птерграфы 1.6.1. Определение и способы задания нечетких гиперграфов. Гиперграфы являются адекватной моделью систем, в которых элементы связаны совокупностями различных многоарных отношений. Использование гиперграфов в качестве математической модели таких систем позволяет для многих комбинаторных и логических задач взаимно однозначно и компактно описывать их структуру, получать формальные оптимизационные алгоритмы, удобно программируемые и обладающие естественным параллелизмом. В реальных условиях часто инцидентность между объектами в системе нечеткая. Нечеткая инцидентность возникает либо из-за участия в системе людей, либо из-за невозможности учета каких-либо факторов ввиду большой размерности и сложности процессов. Дадим определение нечеткого гиперграфа. Нечеткий гиперграф Н = = (X, и, Р ) задан, если заданы множество X = { х * } (/ Е / {1 , 2 , . . . , п } ) , называемое множеством вершин, множество £/= { и у } ( / € / = { 1, 2, . . . . . . , т ) ) , называемое множеством ребер, и двуместный нечеткий предикат, называемый нечетким инцидентором, который определяется для всех пар (х, и) (х Е X, и Е I/) и принимает значения из интервала [0; 1]. Нечеткий инцидентор Р порождает нечеткое множество Р ( Р ) = = и)/(х, и ) ) } (х Е X, и Е Ц ) в множестве X X V , где Цр^р) функция принадлежности, определяющая для каждой пары (х, и) степень инцидентности Р р ( Р ) ( х * и) входящих в нее элементов гиперграфа. Множество /Г(Р ) называется областью нечеткой истинности нечеткого инцидентера Р. Эквивалентным способом задания нечеткого гиперграфа Н = (X, £/, Р ) является матрица Я И = гц „ х т , где гц = (*/> Щ) (** ^ Х , и 1 Е и ), называемая матрицей нечеткой инцидентности. П р и м е 1.30. Пусть X = { х ь х 2, * 3, х 4, х 5, х 6} , 1/={ии и2, и3, И4, и5) , /¡(Р) = {< 0,4/(х !, И3)>, <0,1/(хЬ И4)>, < 1/ (*2, и2))> <0,7/(х2, Из ) >, < 1/ (*2, М4 ) > , <0 ,8/(х 2, и5) >, <0,2/(х3, и х) ), < 1/(х3, и2)>, <0,7/(Х3, и5)>, <0,7/ (х 4, ) >, <1/(х5, и 1>2 , <0,6/0* 5, и4)>, <0,3/(х5, н5)>, <0,8/(х6, м3)>, <1/(Хб, ы4)» .П р и этом Н = ( X, и , Р ) является 61 нечетким гиперграфом с матрицей нечеткой инцидентности и 1 Ы2 и3 и4 и5 *1 0 0 0,4 0,1 0 XI 0 1 0,7 1 0,8 Хз 0,2 1 0 0 0,7 Х4 0,7 0 0 0 0 Хз 1 0 0 0,6 0,3 Х6 0 0 0,8 1 0 1.6.2. Представление систем нечеткими гиперграфами. Нечеткий гиперграф Н (.X, IIу Р ) представляет собой совокупность нечетких ситуаций, описывающих объект управления при решении задач вида ’’класс ситуаций действие” (см. [2 1 ]), если множество этих ситуаций обозначить X = {* ,} (/ Е / = {1 , 2, . . . , я } ) , множество значений лингвистических переменных, характеризующих базовое множество признаков, которыми ситуации х Е X обладают в той или иной степени, обозначить и = { (/ Е / = { 1 , 2 , . . . , т } ) и положить, что двуместный нечеткий инцидентор Р определяет степень инцидентности для всех пар (х, и) , X Е X, и Е и , т.е. между каждой ситуацией и каждым значением. Нетрудно видеть, что в матрице инциденций Я н каждая нечеткая ситуациях/ Е X отображается строкой X/. При анализе и синтезе систем, заданных в виде совокупности нечетких ситуаций, возникают задачи классификации ситуаций, построения различного рода отношений между ситуациями, анализа структуры гиперграфа ситуаций с целью планирования стратегии поиска нужных ситуаций, разбиения множества ситуаций на группы. Решение этих задач может быть сведено к выполнению теоретико-множественных и алгебраических операций над гиперграфами, которые будут рассмотрены ниже. При принятии решений в нечетких условиях естественной представляется симметрия по отношению к целям и ограничениям, которая устраняет различия между целями и ограничениями и позволяет формировать на их основе решение (см. [3 1 ]). При этом нечеткий гиперграф Н {X, 1/,Р) представляет собой совокупность целей и ограничений, если положить, что X = { X ,} (/ Е /) определяет заданное множество альтернатив, множество и = и и 2 определяет семейство целей и ограничений, где и х = { и;-} (/ Е 4 ) множество нечетких целей, а 1/2 = { и к } ( к £ /2) множество нечетких ограничений. Нечеткий инцидентор Р задает степень инцидентности между X/ Е X (альтернативой) и щ Е С/ (целью или ограничением). В матрице смежности К И каждая нечеткая цель щ Е и х и каждое ограничение ик Е и 2 представляются соответствующим столбцом. Получение решения в этом случае сводится к выполнению теоретикомножественных операций на множестве элементов гиперграфа и, при необходимости, поиску некоторых его экстремальных характеристик. В случае, когда цели и ограничения нечеткие множества в разных пространствах X и К, при помощи соответствия /: X -+ У, которое также может быть нечетким, они могут быть сведены в одно пространство 62 |