|
а) на участке х, х+Дх находится какой-нибудь автомобиль встречного потока, вероятность его равна Л ^А х; б) после точки х, х+Дх во встречном потоке есть интервал достаточный для обгона, вероятность его равна г\у Таким образом, для любого из состояний 1, 2, 3, ..у -1 вероятность перехода автомобиля типау в состояние т из состояния к в пределах х, х+Дх: \ т = Р(а)Р(Ь) = ЛЛ71;-Дх. (4.50) Из состояния т автомобиль типау возвращается в состояние у после окончания обгона на участке х, х+Дх. Вероятность окончания обгона на участке х, х+Дх равна отношению Дх к длине пути обгона 5). Принимаем среднюю скорость за время обгона равной скорости свободного движения, тогда вероятность перехода автомобиля типау из состояния т в состояние у равна Ах Ах Р^ = Т ~ 7 Т ' (4-51) Sj у1в1 Коэффициенты при Дх в уравнениях (4.44 4.51) есть плотности соответствующих переходов. Согласно этим плотностям можно разметить граф переходов на рисунке 4.13 и составить систему дифференциальных уравнений. В левой части уравнения поставим производную Р£, в правой столько членов, сколько стрелок связано с состоянием к (если стрелка ведет в данное состояние, член имеет знак плюс и наоборот). Каждый член равен плотности переходов, перемноженной на вероятность того состояния, из которого идет данная стрелка. Для решения нашей задачи достаточно составить уравнение для состояний у и т: ■ У , , * ' / 1 _ ь . (4.52) б *=1 4 1 у— 1 V ; V к /-1 Рт = ~ Р т 7 + Р ) Ч ] Г 4 + ¿ Л Ч } Г р к У ]в ] 4 = 1 V ] 4 = 1 Для практических расчетов при непрерывном распределении скорости преобразуем систему (4.52) следующим образом. |
107 в. 2) за точкой х+Ах во встречном потоке нет интервала, большего чем X > Л ¿1, ^ 2:^. ; 1 Время Рис. 3.13. Схема к расчету вероятности обгона. Треугольники автомобили встречного потока; 1 начало обгона "с ходу", 2 начало обгона "с ожиданием" Таким образом, возможность обгона после его ожидания и следования за тихоходным автомобилем имеет место, если возникают следующие события: а) на участке х, х+Дх находится какой-нибудь автомобиль встречного потока, вероятность его равна ЯдАх; б) после точки х, х+Дх во встречном потоке есть интервал достаточный для обгона, вероятность его равна щ Таким образом, для любого из состояний 1, 2, 3, у-1 вероятность перехода автомобиля типау в состояние т из состояния к в пределах х, х+Дх: рк.т= Р(а)Р(Ь) = Л'Л/7,Лх (3.48) Из состояния т автомобиль типа у возвращается в состояние у после окончания обгона на участке х, х+Дх. Вероятность окончания обгона на участке х, х+Ах равна отношению Дх к длине пути обгона А,-. Принимаем среднюю скорость за время обгона равной скорости свободного движения, тогда вероятность перехода автомобиля типау из состояния т в состояниеу равна ^ ^ (3.49) Коэффициенты при Ах в уравнениях (3.39 3.49) есть плотности соответствующих переходов. Согласно этим плотностям можно разметить граф переходов на рис. 3.13 и составить систему дифференциальных уравнений. 108 В левой части уравнения поставим производную Р к, в правой столько членов, сколько стрелок связано с состоянием к (если стрелка ведет в левое состояние, член имеет знак плюс и наоборот). Каждый член равен плотности переходов, перемноженной на вероятность того состояния, из которого идет левая стрелка. Для решения нашей задачи достаточно составить уравнение для состоянийу и т: Для практических расчетов при непрерывном распределении скорости преобразуем систему (3.50) следующим образом. В качестве конкретного автомобиля выбираем такой автомобиль, скорость свободного движения которого попадает в интервал V, у+Ду. Такой автомобиль будем называть автомобилем типа у, что соответствует типу у . Аналогично Р(у) и /(у) соответствует Р} и Р,„. У-1 , V . —V* Тогда в системе (3.50) можно перейти от суммы Хк— к интергде /(у) плотность вероятностей скорости свободного движения; Л'„ средняя величина свободного расстояния между автомобилями при плотности Л„. Согласно формуле (4.30): (3.50) валу, принимая А'г Л '„/М Л у, (3.51) (3.52) |