В качестве контрольного автомобиля выбираем такой автомобиль, скорость свободного движения которого попадает в интервал v, v+Av. Такой автомобиль будем называть автомобилем типа v, что соответствует типу у. Аналогично P(v) и U(v) соответствует Pj и Рт. У-1 , V; Vfc Тогда в системе (4.50) можно перейти от суммы £ % к интегралу, к= 1 vj принимая 4 = A ' nf ( v k )Av, (4.53) где /( v ) плотность вероятностей скорости свободного движения; \/Л ’ п средняя величина свободного расстояния между автомобилями при плотности Лп . Согласно формуле (4.32) Лп Лп = г— , (4.54) 1" Лп10 где 10~ средняя величина динамического габарита при плотности потока Лп . Поэтому lim —= ЛпВ(у), (4.55) Av->0ic=\ v j где B(v) J -— f( u ) d u . (4.56) 0 v Отечественные ученые А.К.Бируля [21], И.Л. Романенко [83] выделяли отношение — — прианализе количества встреч и обгонов.Известные зарубежные исV следователи также используют зависимость типа В(у). Так, например, Петиньи [110] вычисляет в виде, аналогичном В(у), количество автомобилей, которые догоняю т быстроходный автомобиль; М иллер [108,109] называет величину A.'nB(v) темпом rate, с которым быстроходные догоняют тихоходные; Хейт [99] также широко ис177 |
108 В левой части уравнения поставим производную Р к, в правой столько членов, сколько стрелок связано с состоянием к (если стрелка ведет в левое состояние, член имеет знак плюс и наоборот). Каждый член равен плотности переходов, перемноженной на вероятность того состояния, из которого идет левая стрелка. Для решения нашей задачи достаточно составить уравнение для состоянийу и т: Для практических расчетов при непрерывном распределении скорости преобразуем систему (3.50) следующим образом. В качестве конкретного автомобиля выбираем такой автомобиль, скорость свободного движения которого попадает в интервал V, у+Ду. Такой автомобиль будем называть автомобилем типа у, что соответствует типу у . Аналогично Р(у) и /(у) соответствует Р} и Р,„. У-1 , V . —V* Тогда в системе (3.50) можно перейти от суммы Хк— к интергде /(у) плотность вероятностей скорости свободного движения; Л'„ средняя величина свободного расстояния между автомобилями при плотности Л„. Согласно формуле (4.30): (3.50) валу, принимая А'г Л '„/М Л у, (3.51) (3.52) где l0 средняя величина динамического габарита при плотности потока Л„. Поэтому П тУ Я* —-----= A„fi(v), (3.53) Av>0* H V j v где £ (v )= J-—-f(u )d u . (3.54) 0 V Отечественные ученые А.К. Бируля [15, 16, 17], И.Л. Романенко [79] выделяли отношение —при анализе количества встреч и обгонов. Изv вестные зарубежные исследователи также используют зависимость типа B(v). Так, например, Петиньи вычисляет в виде, аналогичном B(v), количество автомобилей, которые догоняют быстроходный автомобиль; Миллер называет величину Л'„ В(у) темпом rate, с которым быстроходные догоняют тихоходные; Хейт также широко использует зависимости вида £(v и ) /(u)du при анализе задержек движения быстроходных автомобилей. Второе преобразование заключается в замене в последнем уравнении уч системы (3.48) суммы на 1-Pm~Pj. к1 Тогда, опуская индексы и переходя к непрерывному распределению скорости, уравнение (3.50) можно переписать в виде dP(v) > 1 — У = A n (x)B(v)P(v) + — ji( v ) dx v9(v) , (3.55) d7t(v) 1 — — = Г ii(v) + AnTi(v)[l P(v) 7t(v)] + An (x)B(v)Ti(v)P(v) dx v0(v) Таким образом, применение процессов Маркова для моделирования потока существенно упрощает методику составления дифференциальных уравнений, описывающих вероятностные характеристики движения отдельного автомобиля в потоке. При различных дорожных условиях изменяются начальные условия системы (3.55) и тем самым определяются различные ре109 |