|
ГЛАВА 2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛЕЙ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ В ГЕМОДИНАМИКЕ 2.1 Характерные особенности математических моделей гемодинамики Существующие модели гемодинамики представляют собой достаточно сложные математические формализации процессов движения крови, построенные на базе уравнений Навье-Стокса с соответствующими начальными и граничными условиями. Такие модели описаны в зарубежной литературе для течения в кровеносных сосудах и совершенно аналогичных с точки зрения гидродинамики течения в мужском мочеиспускательном канале. В отечественной литературе к таким работам можно отнести [9,10,11]. При составлении системы уравнений, описывающих течение крови в кровеносных сосудах делались следующие допущения: • течение ламинарное; • длина кровеносного сосуда много больше его поперечного размера, что позволяет считать течение квазиодномерным [48]; • площадь поперечного сечения кровеносного сосуда является функцией давления. При построении математических моделей течения крови в сосудах, их авторы важную роль отводят наличию возможности точных и приближенных аналитических и численных решений задач, хотя бы в упрощенной постановке. Это объясняется тем, что усложнение математической формулировки задачи не всегда оправдано с точки зрения получения решения, удобного для практического применения. В настоящее время наиболее часто течение крови в сосуде описывается с помощью системы уравнений, допускающей для целого класса задач численное решение и имеющей вид [9,10,11]: 60 |
Чтобы более подробно и предметно рассмотреть аспекты взаимосвязи кровяного давления частоты сердечных сокращений и расхода крови, то в первом приближении это можно сделать с позиций гидравлики. 1.6.2. Современные математические модели, применяемые в гемодинамики Современные модели гемодинамики представляют собой достаточно сложные математические формализации процессов движения крови, построенные на базе уравнений Навье-Стокса с соответствующими начальными и граничными условиями. Такие модели описаны в зарубежной литературе для течения в кровеносных сосудах и совершенно аналогичных с точки зрения гидродинамики течения в мужском мочеиспускательном канале [Асме]. В отечественной литературе к таким работам можно отнести [2,3,4]. При составлении системы уравнений, описывающих течение крови в кровеносных сосудах делались следующие допущения: • Течение ламинарное • Длина кровеносного сосуда много больше его поперечного размера, что позволяет считать течение квазиодномерным [46] • Площадь поперечного сечения кровеносного сосуда является функцией давления При построении математических моделей течения крови в сосудах, их авторы важную роль отводят наличию возможности точных и приближенных аналитических и численных решений задач, хотя бы в упрощенной постановке. Это объясняется тем, что усложнение математической формулировки задачи не всегда оправдано с точки зрения получения решения, удобного для практического применения. 53 В настоящее время наиболее часто течение крови в сосуде описывается с помощью системы уравнений, допускающей для целого класса задач численное решение и имеющей вид [2,3,4] В формулах приняты следующие обозначения: U(t, х) скорость потока в кровеносном сосуде, как функция времени t и продольной координаты х; P(t, х) давление крови в сосуде, зависящее от времени и продольной координаты; р плотность крови; полагается постоянной; S площадь поперечного сечения кровеносного сосуда, зависящая от давления, и, следовательно от продольной координаты, причем обычно в расчетах применяется зависимость вида (1.6.2.3); F обобщенная сила, характеризующая внешние и внутренние воздействия на единицу массы. Обычно она представляется в виде где Fe—любая массовая сила, например, гравитационная; F-гр—сила трения. Приведенная система уравнений имеет гиперболический тип и обладает двумя семействами действительных характеристик, которые отражают волновую природу переноса в потоке значений физических величин, описывающих исследуемый процесс. Общий подход к решению систем уравнений в частных производных гиперболического типа (1.6.2.1) ( 1.6.2.2) S(P) = (РР ш М ) * шва * mm (1.6.2.3) F ^ F e + F.p 54 |