|
уравнений гемодинамики для одного кровеносного сосуда. Линеаризация уравнений достигается путем представления величин давления, скорости потока и площади поперечного сечения сосуда в виде P =P+P(x,t) U =U+U{x,t) s = s +вр(х,о где в = ^ г U ; S=S(P). В данных формулах величины Р =const-, S =const; 0 > 0. Причем константы соответствуют некоторому фиксированному стационарному решению гемодинамики. Функции P(t,x), U(t,x) и производная полагаются малыми величинами. После некоторых преобразований получается так называемая линеаризованная гемодинамическая система уравнений (ЛГД), общим решением которой является комбинация двух бегущих волн произвольной формы f*(x-X+ t) и /~(х~Я~1) . Конкретные зависимости для P(t,x), U(t,x), являющиеся решением, у каждой задачи определяются исходя из вида начальных и граничных условий. Так, например, в работе [18] на базе линеаризованных уравнений гемодинамики рассмотрена краевая задача общего вида P,+UPx+ pc7Ux = 0 U ,+—PX+UUI =0 0 < х < I, t > 0 Р Р(х, 0) = ф(х), U(x, 0) = ф(х), О <х <1, Ъ Рф , t) + &U(0,t) = fitft) < X 2P(l,t)+ & 2U(l,t)=lL2(t) t >0 Конкретные значения констант 0Г , а2, ft, f t получаются в результате линеаризации граничных условий, например, (2.1.4), (2.1.5). Наряду с линеаризованными моделями гемодинамики применяются упрощенные нелинейные модели, построенные, например, методом нелинейных интегральных соотношений [34]. Такая модель приводится в 63 |
потери напора на узлах ветвления сосудов, как на местных сопротивлениях. Хотя все это существенно для задач измерений артериального давления и частоты сердечных сокращений. Однако понятно, что, если приведенные граничные условия усложнить, то решения уравнений (1.6.2.1.) (1.6.2.3) получить будет невозможно, даже численными методами, как, например, в [4,11,12]. Для упрощения решения системы уравнений (1.6.2.1.) (1.6.2.3), в [11] применяется операция линеаризации. При этом рассматриваются уравнения, описывающие эволюцию малых отклонений от стационарных решений уравнений гемодинамики для одного кровеносного сосуда. Линеаризация уравнений достигается путем представления величин давления, скорости потока и площади поперечного сечения сосуда в виде P =P +P(x,t) U =U+U(x,t) S =S +9P(x,t)где ё =^ р \ р -; s =s(p). В данных формулах величины Р =const; S =const; 0 > 0. Причем константы соответствуют некоторому фиксированному стационарному решению гемодинамики. Функции P(t,x), U(t,x) и производная полагаются малыми величинами. После некоторых преобразований получается так называемая линеаризованная гемодинамическая система уравнений (ЛТД), общим решением которой является комбинация двух бегущих волн произвольной формы и f~(x-A~t). Конкретные зависимости для P(t,x), U(t,x), являющиеся решением, у каждой задачи определяются исходя из вида начальных и граничных условий. Так, например, в работе [10] на базе линеаризованных уравнений гемодинамики рассмотрена краевая задача общего вида 56 t/,+ -P x+W x= О 0 < х< 1, t> 0 р Р(х, 0) = <р(х), U(x, 0) ~ у/(х), О< х <1, a m O + f a U m p i O ) a2P(l,t)+fcU (I,t)=M 2(t) t> 0 Конкретные значения констант С С , аг, Pi, Р2 получаются в результате линеаризации граничных условий, например, (1.6.2.4), (1.6.2.5). Наряду с линеаризованными моделями гемодинамики применяются упрошенные нелинейные модели, построенные, например, методом нелинейных интегральных соотношений [31]. Такая модель приводится в [16]. Область применения ее довольно узка, и отдельный сосуд приходится разбивать на 2 3 участка. Решение задачи в этом случае упрощается за счет того, что система нелинейных уравнений в частных производных сводится к решению системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. dt I I dU 7 7 С/,-U . Рг P. . U + U — ----L+ — L= 8 w dt I Ip S Данные уравнения дополняются алгебраическими соотношениями 77 U,+U2 -X S.+S* для средних величин U =■ 2 и 5= ' а также уравнениями состояния в простейшей форме, 5, =S. +в(РхP.) S2=S.+ в(Р2Л) где S.,P„9 опорные константы и коэффициент эластичности. 57 |