|
242 > (4.14) (4.15) rrij с Рис. 4.15. Вероятности ошибочной классификации Дисперсия числа правильных ответов каждой группы равна <*2ij=nrPij-(l-Pij)где nj -число заданий теста сложности Pj. Дискриминантная функция z представляет линейную комбинацию результатов наблюдений: z=aiXj + a2*2 + — + (4-16) где otj набор постоянных весовых коэффициентов. Эти коэффициенты в случае решения задач тестирования должны быть согласованы с мерой сложности заданий. Дискриминантную функцию можно рассматривать как балл, полученный при тестовом контроле и наличии весов для каждого уровня сложности. Процедура классификации заключается в подборе константы с и отнесении X к W\, если z>c; и к Иг, если z В связи с этим возникают следующие вопросы: 1. Какие веса взять для лучшей классификации? |
Вероятности ошибочной классификации X-W, X-W, Рис. 2.14. Для моделирования процедуры тестового контроля воспользуемся однопараметрической моделью G.Rasch. Для каждой группы тестируемых О-, и каждого уровня сложности Pj количество правильных ответов Хц имеет биномиальное распределение с математическим ожиданием: p J ) Дисперсия числа правильных ответов каждой группы равна: aV nj-pij.(l-pij)где r»j -число заданий теста сложности Pj. (2.40) (2.41) Дискриминантная функция z представляет линейную комбинацию результатов наблюдений; 2=aiXi + ajX2 + ... + a^n, (2.42) где а, набор постоянных весовых коэффициентов. Эти коэффициенты в случае решения задач тестирования должны быть согласованы с мерой сложности заданий. Дискриминантную функцию можно рассматривать как балл, полученный при тестовом контроле и наличии весов для каждого уровня сложности. 89 Процедура классификации заключается в подборе константы с и отнесении Х к W\, если z>c; и к W2 , если z В связи с этим возникают следуюшие вопросы: 1. Какие веса взять для лучшей классификации? 2. Какое пороговое значение с выбрать для разделения «зачет», «незачет»? В общем случае эта задача является двухкритериальной оптимизационной. Ищется значение, которое максимизирует разность математических ожиданий и одновременно минимизирует дисперсию разности. В качестве свертки критериев используется расстояние Махалонобиса: Dz (2.43) На основании введенного критерия, двухкритериальная задача переходит в обычную задачу оптимизации, т.е. выбора значений а/, минимизирующих значение функции Д^. Решение этой задачи оптимизации является решением системы линейных уравнений; сс,а„ + а 2 а , 2 + ...+ ара,^, = Ш 1 , -т^х a ia 2 +а2С722 + ... + c t„a ,„ = —т (2.44) а,Ор1+ а2<7^,2 + ... + а р р р = гПр^ После определения а, наблюдаемому вектору X ставится в соответствие значение дискриминантной функции г. Константа с выбирается из соображений минимизации вероятности ошибочной классификации. Сумма вероятностей ошибочных классификаций Р(21)+ Д 1[2) минимальна при выборе константы с: |