|
является линейной функцией отХ, то главных компонент будет две (для полного описания совместного распределения необходимы две оси) [ 100]. При наличии более двух переменных принцип определения главных компонент тот же. Например, для трехмерного нормального распределения поверхность равной вероятности будет ограничивать овальное тело (эллипсоид), где первая главная ось его наибольший диаметр, вторая пройдет по наибольшему диаметру в плоскости, перпендикулярной первой оси, третья ось будет самой короткой, перпендикулярной двум первым осям [88,100]. Основной математический метод получения направлений главных осей основан на нахождении собственных чисел и векторов корреляционной (ковариационной) матрицы. Для определения собственных чисел и векторов уравнение [88,100] с использованием матричной записи имеет следующую форму; R V = Л V , (2.4.5) где R матрица, для которой ищется решение; V искомый собственный вектор, Л собственное число. Решение базируется на более простой форме в виде детерминанта матрицы [88.100]: D e t ( R V l ) = 0 , (2.4.6) 81 что дает для квадратной матрицы уравнение: Det ' 1 Л 4 v Г,2 1 Лу = о (2.4.7) которое по определению детерминанта может быть представлено в виде: ( 1 Д ) ( 1 Л ) г 1 2 • (/• „ )= 0 , (2.4.8) |
81 ми, а в объяснении максимальной доли дисперсии наблюдений. С другой стороны, для рассматриваемого двумерного случая в факторном анализе потребуется лишь один фактор, и главной задачей будет объяснение корреляций между переменными. Итак, первая задача относится к объяснению дисперсий, а вторая к объяснению корреляций [104]. При наличии более двух переменных принцип определения главных компонент тот же. Например, для трехмерного нормального распределения поверхность равной вероятности будет ограничивать овальное тело (эллипсоид), где первая главная ось его наибольший диаметр, вторая пройдет по наибольшему диаметру в плоскости, перпендикулярной первой оси, третья ось будет самой короткой, перпендикулярной двум первым осям [104]. Основной математический метод получения направлений главных осей основан на нахождении собственных чисел и векторов корреляционной (ковариационной) матрицы. Для определения собственных чисел и векторов уравнение [104] с использованием матричной записи имеет следующую форму: R V = X V , (2.4.6) где R матрица, для которой ищется решение; Vискомый собственный вектор; Я собственное число. Решение базируется на более простой форме в виде детерминанта матрицы: D et(R -V X ) = 0 , (2.4.7) Что дает для квадратной матрицы уравнение: Det = 0 , (2.4.8) которое, по определению детерминанта может быть представлено |