|
62 Я является отношением эквивалентности, если сЯс', то с и с' имеют одни и те же внешние и внутренние показатели связей, если сЯс', то (зс)Я ($с') для любого $е8, * если с = с,ас2 и с' = С'ас'2 регулярны и СЯС', с2Яс2', то имеем сЯс'. Классы эквивалентности Ь (Я) называются изображениями и в общем случае обозначаются через 1, а множество всех изображений через Г. Г = Ь (Я)/ Я = (А, 8,1,у)/ Я (2.21) Иногда будем называть элементы из Г идеальными изображениями в противоположность деформированным изображениям, которые будут введены * ниже. Класс эквивалентности I, содержащий данную конфигурацию с, будем обозначать 1(с). На множестве Г задается алгебраическая структура. Для данного Ь (Я) различные правила идентификации приведут к различным алгебрам изображений. Если Я1 и Я2два таких правила из Я, точнее, чем Я2, в том смысле, что Я] -изображения всегда содержатся в Я2-изображениях, но не всегда наоборот, то это пишем Я > Я2. В частности, иногда важно, что правило может различать конфигурации лишь с одной образующей. Более точно рассмотрим монотип связи и произвольную пару образующих а] и а2. Обе конфигурации {аД и {а2} регулярны, и будем говорить, что Я разделяет образующие, если из {а} = {а2} (тос! Я) следует, что а = а2. Заметим, что поскольку все конфигурации в изображении обладают одними и теми же внешними связями и показателями связей, то имеет смысл говорить о них для всего изображения. * Множество Г вместе с преобразованиями подобия и комбинациями посредством а называется алгеброй изображений, обозначается также через Г и может быть представлено пятеркой Г = Ь (Я), Я) = <А, 8, 1,у, Я >. (2.22) Рассмотрим типы правил идентификации, начнём с некоторых простых правил. ь |
62 1 Рис.2.2. Линейное соединение конфигураций Теперь введем в теорию образов наблюдаемость. Две различные конфигурации С\ и с' из Ъ ( К ) необязательно будут восприняты наблюдателем как различные. Последнее может зависеть или не зависеть от способа получения информации о конфигурации наблюдателем и от способа обработки этой информации. Формализуем это обстоятельство посредством правила идентификации Я : записываем с= с’ (тос! Я ) или сЯ с', если с и с' идентифицируются при помощи этого правила, указывающего, каким образом наблюдатель может различать конфигурации. Для того чтобы некоторое отношение было правилом идентификации, должны выполняться следующие определе? ния и правила. Определение 2.8. Отношение К между конфигурациями из Ъ ( К ) называется правилом идентификации, если: Я является отношением эквивалентности, если сЯс', то си с' имеют одни и те же внешние и внутренние показатели связей, если сЯс\ то (зс)7? (зс') для любого зе8, если с = с\<зс2 и с' = С)'ас '2 регулярны и с\Яс\, с2/?с2', то имеем сЯс’. Классы эквивалентности Ь (Я) называются изображениями и в общем случае обозначаются через I, а множество всех изображений через Г. ГЬ (К)/ К = (А, 5,1, V)/Я . (2.16) Иногда будем называть элементы из Г идеальными изображениями в у противоположность деформированным изображениям, которые будутвве 63 дены ниже. Класс эквивалентности I, содержащий данную конфигурацию с, будем обозначать 1(с). На множестве Г задается алгебраическая структура. Для данного Ь (К) различные правила идентификации приведут к различным алгебрам изображений. Если К^ и К2два таких правила из Кь точнее, чем К2, в том смысле, что К.1 -изображения всегда содержатся в В2изображениях, но не всегда наоборот, то это пишем К[ > К2. В частности, иногда важно, что правило может различать конфигурации лишь с одной образующей. Более точно рассмотрим монотип связи и произвольную пару образующих а 1 и а2. Обе конфигурации (аД и {а2} регулярны, и будем говорить, что К разделяет образующие, если из (аД = {а2} (той К.) следует, что а\= а2. Заметим, что поскольку все конфигурации в изображении обладают одними и теми же внешними связями и показателями связей, то имеет смысл говорить о них для всего изображения. Множество Г вместе с преобразованиями подобия и комбинациями посредством о называется алгеброй изображений, обозначается также через Г и может быть представлено пятеркой Г=Ь(К),К) = (А,5,Е, у,К>. (2.17) Вероятностная мера Р на Ь (К) индуцирует вероятностную меру на Г при помощи соотношения Р(Е) = Р { с / с е Ь ( К ) , 1(с) еЕ ) (2.18) при Ес Г. Для упрощения обозначения используем тот же символ Р для индуцированной меры. Рассмотрим типы правил идентификации, начнем с некоторых простых правил. Тривиальное правило задается при помощи равенства между конфигурациями, а именно еКс' тогда и только тогда, когда с = с'. Конечно, в этом случае имеем Г = Ъ {К). |