|
Р О С С И Й С К А Я Г О С У Д А Р С Т В Е Н Н А Я 4 ] Б И Б Л И О Т Е К А ги одна горизонтальная, в точку (1,0), а другая в точку (1,50), где 60 объем финансирования первого мероприятия. Первая дуга соответствует случаю, когда первое мероприятие не финансируется, а вторая, когда оно финансируется. Из каждой полученной точки ((1,0) и (1,50)) проводим также по две дуги, для второго мероприятия. Получаем уже четыре точки (2,0), (2,50), (2,20) и (2,0), соответствующие четырем возможным вариантам для двух первых мероприятий (если бы оба мероприятия требовали одинакового финансирования, то мы получили бы три точки). Продолжая таким же образом, получаем сеть, приведенную на рис. 1.4.4. Очевидно, что любой путь в сети из начальной вершины (0,0) в конечные вершины соответствует некоторому набору мероприятий. И наоборот, любому набору мероприятий соответствует вполне определенный путь в сети, соединяющий начальную вершину с конечной. Координаты по оси абсцисс равны объему финансирования соответствующего набора мероприятий (или пакета проектов). Примем длины горизонтальных дуг равными 0, а длины наклонных эффектам от соответствующих мероприятий. В этом случае длина пути, соединяющего начальную вершину с одной из конечных, будет равна суммарному эффекту от соответствующего этому пути множества мероприятий. Следовательно, путь максимальной длины, соединяющий начало координат и точку (4, S) будет соответствовать множеству мероприятий, дающему максимальный эффект среди всех множеств мероприятий, требующих совокупного финансирования ровно 5 единиц. Таким образом, мы получаем оптимальные наборы мероприятий при любых объемах финансирования. Решения дают представление о любопытном парадоксе: при финансировании, например, в объеме 70 единиц, мы получаем эффект в 260 единиц, а при увеличении объема финансирования до 100 эффект составляет всего 220 единиц. Парадокс в том, что с позиции здравого смысла, чем больше объем финансирования, тем больше эффект, естественно, при оптимальном наборе мероприятий, но полученная зависимость не соответствует общепринятым |
50 Таблица 1.4.2 Мероприятие Да Затраты S Эффект Q Затраты нарастающим итогом Эффект нарастающим итогом 1 50 2 0 0 50 2 0 0 2 2 0 60 70 260 3 80 160 150 420 4 150 150 300 570 за счет дискретности мероприятий. Действительно, если имеется 100 единиц финансовых ресурсов, то нельзя реализовать первые три мероприятия, требующие 150 единиц ресурса. Оптимальный вариант реализовать первое и второе мероприятия, что дает суммарный эффект 260 единиц. Конечно, если бы каждое мероприятие можно было реализовать частично, с пропорциональным уменьшением и затрат, и эффекта, то зависимость рис. 1.4.3 соответствовала бы реальному эффекту при любом уровне затрат. Построение реальной зависимости «затраты-эффект» приводит к необходимости решения задачи о «ранце», при различных уровнях финансирования R. Для этого необходимо найти экстремум функции вида: 2 0 0 xj + 6 0 x2 +160xj + 150x4 max при ограничениях 50Х] + 60x2 + 80хз +150x4^ R. Решение этой задачи при различных значениях R эффективно может осуществляться методом динамического программирования. Для этой цели строим на плоскости систему координат, одна ось которой соответствует мероприятиям, а вторая объему финансирования (см. рис. 1.4.4). По оси мероприятий отмечаем номера мероприятий 1, 2, 3, 4. Из начала координат проводим две дуги одна горизонтальная, в точку (1,0), а другая в точку (1,50), где 60 объем финансирования первого мероприятия. Первая дуга соответствует случаю, когда первое мероприятие не финансируется, а вторая, когда оно финансируется. Из каждой полученной точки ((1,0) и (1,50)) проводим также по две дуги, для второго мероприятия. Получаем уже четыре точки (2,0), (2,50), (2,20) и (2,0), соответствующие четырем возможным вари 51 антам для двух первых мероприятий (если бы оба мероприятия требовали одинакового финансирования, то мы получили бы три точки). Продолжая таким же образом, получаем сеть, приведенную на рис. 1.4.4. Очевидно, что любой путь в сети из начальной вершины (0 ,0 ) в конечные вершины соответствует некоторому набору мероприятий. И наоборот, любому набору Рис.1.4.3 мероприятий соответствует вполне определенный путь в сети, соединяющий начальную вершину с конечной. Координаты по оси абсцисс равны объему финансирования соответствующего набора мероприятий (или пакета проектов). Примем длины горизонтальных дуг равными О, а длины наклонных — эффектам от соответствующих мероприятий. В этом случае длина пути, соединяющего начальную вершину с одной из конечных, будет равна суммарному эффекту от соответствующего этому пути множества мероприятий. Следовательно, путь максимальной длины, соединяющий начало координат и точку (4, S ) будет соответствовать множеству мероприятий, дающему максимальный эффект среди всех множеств мероприятий, требующих совокупного финансирования ровно 'Л S единиц. Таким образом, мы получаем оптимальные наборы мероприятий при любых объемах финансирования. 52 Рис. 1.4.4 Решения (рис. 1.4.4), дают представление о любопытном парадоксе: при финансировании, например, в объеме 70 единиц, мы пол)шаем эффект в 260 единиц, а при увеличении объема финансирования до 1 0 0 эффект составляет всего 220 единиц. Парадокс в том, что с позиции здравого смысла, чем больше объем финансирования, тем больше эффект, естественно, при оптимальном наборе мероприятий, но полученная зависимость не соответствует общепринятым представлениям здравого смысла. Этот парадокс возникает из-за дискретности задачи. Понятно, что варианты, нарушающие монотонность (парадоксальные варианты) мы не должны рассматривать. Полученные значения максимального эффекта при различных объемах финансирования приведены в табл. 1.4.3. Таблица 1.4.3 Объем финансирования 2 0 50 70 80 1 0 0 130 150 300 Эффект 60 2 0 0 260 160 2 2 0 360 420 570 |