79 Рис. 3. /. К выводу уравнения неразрывности: а — объем У пористой среды, ограниченный поверхностью 8; б Уп = Уж + Ут — объем пор Количество жидкости, находящейся в объеме У в момент времени т, вычисляется по формуле М(т) = \р(х,уу2,т)с1Уу V а в момент т + йтпо формуле М(т + йт)= р'(хуу,2,т + йт)йУ. V Разность этих количеств жидкости, которая может быть представлена в виде М(т + г)-Л/(г)= М(т)+^-с1т* М(т)=— (р'йУйт = [^-йУйт, йт йт* } дт согласно закону сохранения массы, равна количеству жидкости, вытекающей из объема У через поверхность 5 за время т, т.е. 1^-с/Ус/т + = 0. У от Преобразуем интеграл по поверхности посредством теоремы Остр01радского Гаусса в интеграл по объему. Имеем -^+ ржсИхд\(1Ус1т = 0. Данное равенство должно быть справедливо для любого объема. Что возможно только тогда, когда равно нулю подынтегральное выражение, т.е. + Рж&Щ = 0. (3.2) |
Разность этих количеств жидкости, которая может быть предс тавлена в виде М(т + 4г)~ М(т)=М(т) + ^-4т~ М(т) = с1т — {р' с!Ус1т = \^—4У4т 4т Г 1дт согласно закону сохранения массы, равна количеству жидкости, вытекающей из объема У через поверхность 5 за время с1 г, т. е. + рж \{цп\{5с1т = 0. У ОТ 5 Преобразуем интеграл по поверхности посредством теоремы Остроградского-Гаусса в интеграл по объему. Имеем I др_ дт + Рж^'Я с1Ус1т = 0. Данное равенство должно быть справедливо для любого объема, что возможно только тогда, когда равно нулю подынтегральное выражение, т. е. дА дт + ржАщ = 0. (6.1.2) С учетом (6.1.1) (плотность жидкости р и пористость среды т() предполагаются не зависящими от времени) из (6.1.2) получим уравнение неразрывности для жидкой фазы: т0 — + сНуц = 0. (6.1.3) дт Для двухмерного поля расхода ^=^(x,у,т) уравнение (6.1.3) упрощается и принимает вид |